Magyar Katolikus Lexikon > M > matematika


matematika (lat. mathematica, a gör. mathéma, 'tudás, tudomány' szóból): mennyiségtan. - A ~ban vizsgált tulajdonságok akár az anyagi világból, akár az ember gondolati világából merített fogalmaknak olyan vonatkozásai, amelyeket számolás v. mérés eredményeképpen adódó →számok fejeznek ki. - A lat. elnevezés inkább a ~ tud-ának módszerét írja körül; ennek megfelelően mai fölfogás szerint a ~hoz sorolandó minden olyan elmélet, amelynek fölépítéséhez az axiomatikus módszer használható. - Igaznak fogadunk el néhány (rendszerint véges számú) állítást, ezek az axiómák (sarkigazságok), továbbá minden olyan állítást, amelyet az axiómákból logikus következtetéssel nyert bizonyítással igazolhatunk; a tekintett elméletben az így nyerhető állítások tekintendők az elmélethez tartozónak. A ~ egy-egy fejezetét eszerint egy-egy axiómarendszer következményei alkotják. - Valamely axiómarendszer alapigazságait sokféle területről meríthetjük; jól használható eredményhez akkor jutunk, ha valamely tapasztalatkör keretében fölismert igazságokat fogalmazunk meg absztrakció útján létrejövő pontossággal kellő általánosságban. Ekként a vizsgált témában a tapasztaltakat lehetőleg minél jobban leíró matematikai modell jön létre, s az ennek keretében nyert ~i fejezet sokszor egyúttal valamely más tud. (leggyakrabban valamely természettudomány v. a gazdasági élet) számára jelent jól fölhasználható gondolatrendszert. Ily módon jönnek létre az alkalmazott ~ egyes ágai. - Eszerint a tudományok rendszerében a ~, ak'rcsak a filozófia, nem sorolható sem a szellem- (társadalom)-tudományok, sem a természettudományok közé, bár az utóbbiakkal sok évszázada, az előbbiekkel néhány évtizede szoros kapcsolatban áll. - A ~ története. A legkorábbi ~i ismeretek a gyakorlati élet feladatai kapcsán keletkeztek. Írásos nyomait az ókori Egyiptom ter-én talált emlékek (pl. a Kr. e. 1800 k. keletkezett Rhind-papirusz) őrizték meg. Akkor már használták a máig elterjedt tízes számrendszert (létrejöttét a kéz és láb ujjainak száma kézenfekvővé teszi). Külön jelek jelölték a 10 hatványait (10, 100, 1000, stb.), ezek segítségével az egész számok könnyen leírhatók voltak, s összeadásukat egyszerűen el lehetett végezni; a szorzás és osztás meglehetősen nehézkesen ment. A törtek közül (a 2/3 kivételével) csak az 1 számlálójúakat (elemi törteket) használták, a többit ilyenek összegeként fejezték ki, pl. 3/8 = 1/4 + 1/8. Ennek révén a törteket is tartalmazó számolási feladatok igen körülményes eljárást igényeltek. Ennek ellenére elég sok geometriai feladatot (terület- és térfogatszámítás egyszerűbb esetekben, egyes szögek meghatározása, stb.) meg tudtak oldani, s mindezeket eredményesen használták olyan gyakorlati feladatok megoldására, mint gabonatárolók méretének összehasonlítása, a sörkészítéshez fölhasznált árpa mennyiségének megadása, stb. -Fejlettebbnek mutatkozott a mezopotámiai ~, a számok írásának tekintetében. A sumérok Kr. e. 2000 k. fölismerték a számok helyiértékes írásának lehetőségét, a 10-es számrendszernek a 60-as számrendszerrel történő társításával (a 60 alatti számokat 10-es rendszerben írták, de azután 60 hatványai szerint rendezték a számokat: 4000 = 602 + 6X60 + 40, és ezt az 16( fölépítésű jellel fejezték ki, ahol (a 40 jelének felelt meg). E módszert használták a 60, 3600, ...nevezőjű törtek leírására is. Mindennek máig fönnmaradt maradványa az órának 60 percre, a percnek 60 másodpercre történő fölosztása. A gondolat félreértésmentes alkalmazását korlátozta, hogy a 0 jelet nem ismerték. -

Babilonban Hammurabi (Kr. e. 1950 k.) uralmát követően fokozatosan kialakultak az egyenletek megoldását szolgáló algebra körébe tartozó ismeretek. Nemcsak az elsőfokú egyenleteket tudták megoldani (azt már Egyiptomban is ismerték), hanem a másodfokú egyenleteket is. A számolás megkönnyítésére táblázatokat készítettek (egyszerű szorzótáblák mellett pl. reciprok értékeket, stb.). Ezek segítségével meg tudtak oldani pl. csillagászati v. mértani feladatokat is, ismerték teljes általánosságában a Püthagorasz-tételt (a2 + b2 = c2). -

A Kr. e. 500 k. időkből ismerünk indiai ~i szövegeket; ezek főként szertartási előírások ~i vonatkozásait tárgyalják, a mezopotámiaiakhoz képest fejletlenebb ismeretekkel. - A kínai ~ legrégibb fönnmaradt szöveges emlékei a Kr. előtti sz-okból erednek, s viszonylag alacsony színvonalúak. Indiában és Kínában a 10-es számrendszert használták, Kínában a 60-assal társítva, s ott már a helyiérték elvét is ismerték. - Valamennyi ókori K-i ~i műre érvényes, hogy a (mai értelmű) →bizonyítás fogalmát nem ismeri; meghatározott típusú feladatok megoldásának utasításaira szorítkoztak, nem árulva el, hogyan jutott a szerző az ajánlott módszer fölismerésére, nem magyarázva, miért helyes az ajánlott megoldási mód. - A bizonyítás szükségességének és lehetőségének felismerése a gör. ~nak volt az eredménye; náluk vált a ~ gyakorlati receptgyűjteményből tud-nyá. A gör-ök már egyes személyeknek tulajdonítottak egy-egy fölfedezést (ami akkor is lényeges változás, ha az eredményeknek fölfedezőjükhöz rendelése csak utólag és gyakran nem kellően indokoltan történt). Akiknek nevéhez egy-egy eredmény fölismerése fűződik, sokszor inkább filozófusok v. csillagászok voltak, s nem matematikusok. - Az első, ~i eredményekkel kapcsolatba hozott filozófus a milétoszi →Thalész volt (Kr. e. 6. sz.). Saját műveit nem ismerjük, de a később neki tulajdonított eredményekben nem a fölismerés nehézsége, hanem a bizonyítás gondolata volt a lényeges. Nem maradt ránk írásos mű →Püthagorasztól (Kr. e. 6. sz.), csak későbbi forrásokból tudjuk, hogy a számok tulajdonságait vizsgálta (tökéletes számok, barátságos számpárok), s ebből bizonyos →számmisztikát fejlesztett ki. Tanítványai (→püthagoreusok) pl. a páros számokat női, a páratlanokat férfi számoknak tekintették, és egyes számoknak csodálatos, olykor isteni jelleget tulajdonítottak. A róla elnevezett mértani tételt biztosan nem Püthagorasz fedezte föl, esetleg bizonyítást adhatott rá. Ő és tanítványai kezdték el a számelméleti fölismerések összeállítását, a geometriában a szabályos testek vizsgálatát; legfontosabb fölismerésük az volt, hogy a négyzet oldala és átlója hosszúságának arányát nem fejezheti ki racionális szám (azaz egész számok hányadosa). - Hippaszosz (Kr. e. 5. sz.) fedezte föl a szabályos →ötszög szerkesztésének eljárását. A khioszi Hippokratész (Kr. e. 5. sz.) adott először példát olyan görbevonalú idomra (ún. holdacska), amelynek területét pontosan meg lehet határozni. Ez az első ránk maradt írásos emléke az ókori gör. ~nak. Tudjuk, hogy írt egy művet (de ez nem maradt ránk), amelyben a geometria elméletét szigorúan axiomatikus módszerrel igyekezett fölépíteni. - A Kr. e. 4. sz: Eudoxosz kidolgozta az arányok elméletét s erre alapozva a kimerítés módszerét; ennek lényege az, hogy egy (általában görbevonalú) idom ter-ét úgy lehet meghatározni, hogy nála biztosan kisebb ill. nagyobb területű (mert benne foglalt ill. őt tartalmazó) egyenesvonalú idomokat keresünk, mégpedig úgy, hogy ter-eik egymást egyre jobban megközelítsék. Eudoxosz művei elvesztek, ránk maradt viszont Eukleidész (K. e. 300 k.) Sztoikheia, 'Elemek' c. kv-e, az egész ~ tud-ának legismertebb műve, amelynek különféle nyelvű kiadásait számban csak a Biblia múlja felül. Eukleidész az ókori gör. ~nak szinte minden addigi eredményét összefoglalta, (szándéka szerint) az axiomatikus módszer következetes alkalmazásával. A mű nagyobb része a sík- és térgeometria eredményeit tekintette át, de kitért az arányelmélet és a számelmélet tárgyalására is. A szigorú axiomatikus fölépítésben hézagok vannak, de azokat csak a 19. sz. végén sikerült megszüntetni. A mértan isk. okt-a a legutóbbi időkig Eukleidész Elemeinek szellemében történt, hiszen mértanában megtalálhatók mindazok az ismeretek, amelyeknek az isk-ban való okt-a kívánatos (pl. az →öt szabályos test elmélete). - A Kr. e. 3. sz. legkiválóbb gör. matematikusa, Arkhimédész műveiben eredményesen alkalmazza a kimerítés módszerét terület- és térfogatszámítási feladatokra. A kör területének kiszámítására szolgáló pi számra a híres ........................ becslést adta. -

Eratoszthenész (Kr. e. 200 k.) nevét a prímszámok megkeresésére szolgáló eljárás őrizte meg. Kortársa Apollóniosz, akinek (részben arab ford-ban) ránk maradt fő műve a kúpszeletek elméletét tárgyalja. A trigonometria és a gömbháromszögtan kifejlesztése főként Hipparkhosznak (Kr. e. 2. sz.) köszönhető. Hérón (Kr. e. 1. sz.) ránk maradt munkáiban nem annyira saját eredményei, mint inkább a korábbi fölfedezésekről adott áttekintés értékes (a róla elnevezett képletet a háromszög ter-ének kiszámítására pl. már Arkhimédész ismerte). A trigonometria és gömbháromszögtan továbbfejlesztője Menelaosz és Klaudiosz Ptolemaiosz (Kr. u. 2. sz.). Elsősorban algebrai kérdéseket tárgyalnak Diophantosz (3. sz.) munkái. A hellénizmus korában kialakult alexandriai iskola utolsó neves képviselője Papposz (4. sz.), akinek kiváló összefoglaló művei s a korábbi matematikusok munkáihoz írt kommentárjai maradtak ránk. -

A mértan mellett a számolási feladatok szerepének alárendelt volta összefüggött a számírás kevéssé fejlett voltával: a tízes számrendszert használták, az 1-9, 10-90, 100-900 számok jelölésére a betűk jeleit alkalmazták, az ABC szokott 24 betűje mellé három régebbi jel, a fau, koppa és szampi fölélesztésével. Így

=1, =2,  =3, =4, =5, fau=6, =7, =8, =9, =10, =20, =30, =40, =50 =60, =70, =80, koppa=90, =100, =200, =300, =400, =500 =600, =700, =800, szampi=900.

- A számírás terén a döntő lépés Indiában történt, az alexandriai iskola elenyészte után ide tevődött át a fejlődés súlypontja. Itt alakult ki a Kr. u. századokban a számoknak 10-es rendszerben való helyiértékes írása, s ebben 500 k. a 0 számjegy használata is megjelent. A ~ művelői - Árjabhata (500 k.), Brahmagupta (7. sz.), Bhászkara (12. sz.) - főként egyenletek egész megoldásait keresték (akárcsak Diophantosz), de már a negatív megoldásokat is figyelembe vették. - A számírás indiai eredményeit átvették és Ny felé közvetítették az arab ~ művelői; ma használt számjegyeink az ibériai arab számjegyekből fejlődtek ki. Az arab ~ őrizte meg az ókori gör. ~ eredményeit is, amennyiben a gör. ~i irod. jelentős részét arabra fordították, de tovább is fejlesztették ~i ismereteinket; Muhammad ibn Musza Al-Hvárizmi (800 k.) nevének latinos alakjából ered az algoritmus, egyik munkájának címéből pedig az algebra szó, amin az egyenletek megoldásának elméletét kell érteni. Jelentősen fejlődött a trigonometria is, számos szögfüggvény-táblázat készült (pl. 900 k. Abu Abdallah Muhammad ibn Dzsábír Al-Battáni műve), Muhammad ibn Muhammad al-Buzdzsáni Abul-Vafa (10. sz.) pedig algebrai eredmények mellett fölfedezte a gömbháromszögek szinusztételét. - Az arab ~val az iszlám révén összefügg a perzsa matematikusok munkássága. Omar Hajjám (1048-1131) geometriai eszközökkel megoldást adott a harmadfokú egyenletre, és megkísérelte bebizonyítani Eukleidész párhuzamossági axiómáját. Dzsamsid Gijászaddin Al-Kási (1400 k.) az egyenletek megoldásának numerikus módszereit fejlesztette tovább, és ismerte a binomiális tételt is. - A gör. és iszlám ~ hatással volt a kínai ~ fejlődésére is. Főként az egyenletek megoldásának módszereit vizsgálták eredményesen. Azonban mind az iszlám, mind a kínai ~ból hiányzik a gör. ~ra oly jellemző igény a bizonyításra. - A K-i ~ eredményeit Eu-ba közvetítők közül →Alkuin (735-804) és Gerbert (1000 k., II. Szilveszter p.) lényegesen hozzájárultak az indiai-arab számírás eu. elterjedéséhez. Fibonacci néven vált ismertté Leonardo Pisano (1200 k.), kihez a számos érdekes tulajdonságot mutató →Fibonacci-számsor kötődik. Érdemeikből mit sem von le, hogy a gyakorlatban a számításokat még évszázadokig inkább az abacusnak nevezett számolótáblán végezték. Nicole Oresme (14. sz.) kialakította a törtek célszerű jelölését és kidolgozta a tört kitevőjű hatványok elméletét. - Az ókori gör. munkák arab közvetítés nélküli közvetlen tanulmányozásában fontos szerepe volt a →Regiomontanus néven ismert Johannes Müllernek, aki Vitéz János érs. (1465-72) meghívására Mo-on is megfordult. Ő a trigonometriát áttekintő fő műve mellett az ötödik tökéletes szám (..........) fölfedezésével a számelméletet is gyarapította. - Az ókori K-i hagyományok utáni első lényeges lépés volt a harmadfokú egyenletek ált. megoldásának fölfedezése. Ezt Luca Pacioli (1500 k.) még reménytelen feladatnak mondta, de Girolamo Cardano (1501-76) és Niccolo Fontana (ismertebb nevén Tartaglia, 16. sz.) munkássága révén ismertté vált. Nehézséget jelentett, hogy benne az addig már jól ismertnek tekintett valós számok mellett szerepet kaptak a komplex számok is, amit tkp. csak Raffael Bombelli (1526-72) tisztázott. Francois Viete (1540-1603) algebrai munkáiban a fő újdonság az együtthatóknak betűkkel jelölése, Simon Stevin (1548-1620) érdeme a tizedestört-jelölés elterjesztése. A sokjegyű számokkal való nehézkes számolás megkönnyítését eredményezte a logaritmusokkal való számolás, ill. John Napier (1550-1617) és Henry Briggs (1561-1630) által az ezeket feltüntető táblázat elkészítése. -

A 16. sz. eredménye a sok korábbi kezdeményezést módszeressé tevő koordinátageometria (analitikus geometria) kidolgozása Pierre Fermat (1601-65) és René →Descartes (1596-1650) révén. Fermat érdeme számos számelméleti fölfedezés és egy számelméleti sejtés kimondása: az xn + yn = zn egyenlőségnek n > 2 egész kitevő esetén csak az x = y = z = 0 egész számú megoldása van. Fermat állította, hogy erre bizonyítása is van, de ez tévedés lehetett, hiszen csak 1995: közölte a bizonyítást Andrew Wiles (1953-), fölhasználva tanítványának, Richard Taylornak egy eredményét. - Fermat és Blaise →Pascal (1623-62) levelezése tartalmazza a valószínűség-számítás első gondolatait; erről Christian Huygens (1629-95) kv-et is írt. A 17. sz. újszerű fölfedezése az infinitezimális számítás elmélete; ebben azokat a feladatokat, amelyeket Arkhimédész még a kimerítés módszerének hosszadalmas alkalmazásával oldott meg, egy-két soros számítással lehetett elintézni, igaz, az arkhimédészi szigor néhány évszázadra történő feláldozásának árán. Az elmélet előkészítésében részt vett Francesco Bonaventura Cavalieri (1598-1647), aki kimondta a róla elnevezett elvet: „két test térfogata megegyezik, ha egymással párhuzamos síkok mindegyike ugyanolyan területű idomot metsz ki az egyikből, mint a másikból”, majd John Wallis (1616-1703), aki meghatározta több végtelen sor és végtelen szorzat értékét (tőle származik pl. a ................. képlet). - Maga az infinitezimális számítás teljességében Gottfried Wilhelm →Leibniz (1646-1716) és Isaac →Newton (1643-1727) munkáiban jelent meg: két geometriai feladat (ti. egy görbe érintőjének meghatározása, ill. egy görbevonalú idom ter-ének kiszámítása) a szóbajövő görbék egyenletét a koordinátageometria módszerével megadó függvényeken végrehajtott egy-egy művelettel nyerhető, amelyek közül az egyik a másiknak a megfordítása. Így pl. az y=x3 egyenletű görbe érintője a görbe (a, a3) koordinátájú pontjában az y-a3 = 3a2(x-a) egyenletű egyenes, s viszont annak az idomnak a területe, amelyet az y = 0, x = a, x = b > a egyenletű egyenesek egy-egy szakasza és felülről az y = 3x2 egyenletű görbe határol, az x3 kifejezés x = a és x = b helyen felvett értékeinek a különbsége, azaz b3 -a3. - A két felfedező bizonyára egymástól függetlenül érte el eredményét; mai felfogás szerint Newton valamivel korábban, de elsőként Leibniz közölte. Tőle származik a ma használatos differenciál- és integrálszámítás elnevezés is. Egyikük sem volt pontos a klasszikus antik gör. értelemben, de Newton fölfogása közelebb állt a ma elfogadotthoz. Az elméletről a határértékszabály felfedezője, Guillaume Francois Antoine L'Hospital (1661-1704) a 17. sz: tankv-et is írt. - A 18. sz. ~ja főként a differenciál- és integrálszámítást fejlesztette tovább és alkalmazta sokirányúan, de továbbra sem óhajtotta az elmélet alapjainak támadhatatlanná tételét. A svájci Bernoulli család több tagja művelte a ~t: Jacob B. (1654-1705) Leibniz közvetlen követőjeként egyik úttörője volt a függvényekkel kapcsolatos szélsőérték-feladatokat tárgyaló variációszámításnak, de foglalkozott a valószínűség-számítással is; Johann B. (1667-1748) is Leibniz-tanítvány, a függvényeket differenciálhányadosaik segítségével meghatározó differenciálegyenletek elméletének volt megalapozója; Daniel B. (1700-82) a differenciálegyenletek elméletét és a valószínűség-számítást művelte eredményesen, akárcsak a két Nicolaus B. (1687-1759, ill. 1695-1726). A függvények hatványsor alakú előállítását Brook Taylor (1685-1731) fedezte fel, de a konvergencia vizsgálatát csak Colin Maclaurin (1698-1746) végezte el. -

Nincs a 18. sz. ~nak olyan fejezete, amelyet a svájci Leonhard Euler (1707-83) ne gazdagított volna maradandó alkotásokkal; életében 530 munkája jelent meg, 2000: 886-ot ismerünk. Tőle származik az ún. elemi függvények nagy részének hatványsor alakjában való előállítása, a róla elnevezett eix = cos x + i sin x összefüggés (ahol i a képzetes egység). A differenciál- és integrálszámítás fölhasználásával gazdagította sokoldalúan a differenciálegyenletek elméletét és a variációszámítást. A mértanban az ő nevét viseli (bár már régebben is ismerték) a poliéderek csúcsainak, éleinek és lapjainak számai közt kapcsolatot megállapító l + c = e + 2 összefüggés. Ő a topológia és a gráfelmélet egyik úttörője, a ~ számos eredményét alkalmazta a mechanikában és a fizikában. - Variációszámítási munkásságát Joseph Louis Lagrange (1736-1813) folytatta. Nevezetesek algebrai és számelméleti vizsgálatai is. Johann Heinrich Lambert (1728-77) eredménye a pi és az e (a természetes logaritmus alapszáma) irracionális voltának bizonyítása. Pierre Simon →Laplace (1749-1827) gyarapította a valószínűség-számítás elméletét, a differenciálegyenletek elméletét az égi mechanika ter-én is alkalmazta. A differenciálegyenletek vizsgálata és mechanikai alkalmazása révén kapcsolható Euler munkásságához Jean le Rond d'→Alembert (1716-83) neve is. - A 18. sz: még nem valósult meg a differenciál- és integrálszámítás (ill. általánosabban az ezt magában foglaló analízis) megalapozása, de ennek már többen (pl. Lagrange, d'Alembert) meglátták a szükségszerűségét, és (még nem kielégítő) kísérletet tettek rá. - A 19. sz. kutatói: Bernhard Bolzano (1781-1848), Augustin Louis Cauchy (1789-1857) és Karl Weierstrass (1815-97) tették meg; a döntő gondolat, a határérték fogalmának bevezetése és az a felismerés, hogy erre mind a differenciálhányados, mind az integrál, mind a végtelen sor konvergenciájának fogalma visszavezethető, Cauchynak köszönhető. Ő vette észre, hogy a függvények elmélete kerekebbé válik, ha a valós szám értékű változók helyett komplex értékűeket tekintünk. E fölismerését Weierstrass fejlesztette tovább, aki azt is meglátta, hogy a határérték elméletéhez szükség van a valós számok (közelebbről az irracionális számok) elméletének megalapozására, és ezt a feladatot meg is oldotta; ugyanezt más módszerrel Richard Dedekind (1831-1916) is megtette. - A 19. sz. ~jára várt annak a vitának tisztázása, amely a függvény fogalmának nem kellően pontos megfogalmazásából eredően Euler, d'Alembert és D. Bernoulli között folyt a 18. sz: lehet-e „minden” 2( szerint periodikus függvényt (tehát olyan f függvényt, amelyre f (x + 2() = f ( x ) ) trigonometrikus sor ( tehát ao + E~ ( an cos nx + bn sin nx ) alakú sor, ahol an és bn állandó) összegeként előállítani. Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) és Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-59) vizsgálataiból kiderült, hogy igen, ha a „minden” szó helyett más igen általános feltételt teszünk (pl. azt, hogy a függvény szakaszonként monoton). Dirichlet-nek számelméleti munkássága is jelentős. -

A princeps mathematicorum címet elnyert Karl Friedrich Gauss (1777-1855) munkássága megbecsülését azzal alapozta meg, hogy 19 é. korában a szabályos sokszögek 2000 éves elméletében tisztázta, hogy melyek azok a szabályos sokszögek, amelyeknek oldala a körülírt kör sugarának ismeretében körzővel és vonalzóval megszerkeszthető és az oldalszám prímszám; a szabályos n-szög akkor ilyen, ha n = 22k + 1 és k egész szám (az ókorból ismert n = 5 után a következő ilyen oldalszám n = 17). Első nagyobb művét a számelméletről írta, de azután a korabeli ~nak szinte minden témakörével foglalkozott (az analízis geometriai alkalmazására szolgáló differenciálgeometriával, a függvényeknek egy a fiz-ban szerepet játszó osztályát tárgyaló potenciálelmélettel, stb.) és a ~ sokféle fizikai alkalmazásával is. - A potenciálelmélet egyik fejlesztője Siméon Denis Poisson (1781-1840) (a róla elnevezett differenciálegyenlet és integrálképlet is utal erre), aki hozzájárult a valószínűség-számítás gazdagításához is (Poisson-eloszlás). - A mértan fejlődését Gaspard Monge (1746-1818) az ábrázoló geometria kidolgozásával, Jean-Victor Poncelet (1788-1867) a projektív geometria megalapozásával segítette, amelyet Jacob Steiner (1796-1863) és Christian von Staudt (1798-1867) fejlesztett tovább. - Sikerült a 19. sz: fényt deríteni az ókor ~jának évezredek óta fontosnak érzett, de mindeddig megoldatlan párhuzamossági axióma problémájára. Ez azt mondja ki: egy síkban egy adott egyeneshez egy adott (rajta kívül fekvő) ponton át egyetlen őt nem metsző egyenes fektethető. Eukleidész ezt külön axiómaként szerepeltette, de az állítás bonyolultsága miatt kívánatosnak látszott a többi axiómára visszavezetni, ez azonban sok-sok kísérlet ellenére sem sikerült. Végre Bolyai János (1802-60) és tőle függetlenül Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij (1792-1856) megmutatta, hogy ez lehetetlen, mert a párhuzamossági axióma elhagyásával v. egy vele ellentétes állítással való helyettesítésével az eukleidészi geometriától különböző, vele egyenértékű geometria építhető fel. Gauss levelezéséből tudjuk, hogy ezt ő is észrevette, de nem kívánta (vagy nem merte) közzétenni. Bolyai és Lobacsevszkij meg volt ugyan győződve geometriájuk ellentmondás-mentességéről, de ezt csak valamivel később bizonyította be Eugenio Beltrumi (1835-1900). Másféle nem eukleidészi geometriát fedezett fel Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-66). E fölfedezésekkel a matematikusok szemléletében megváltozott az axiomatikus módszer szerepe; addig csak egyetlen elmélet, ti. a hagyományos eukleidészi geometria fölépítésére látszott alkalmasnak, s most kiderült, hogy sokféle elmélet megalapozására felhasználható. Ezzel megnyílt az út a ~ fogalmának mai felfogásához. - A harmadfokú egyenlet ált. megoldását a 16. sz: sikerült gyökvonásokkal elvégezni, s ez rövidesen megtörtént a negyedfokú egyenletekkel is. Niels Henrik Abel (1802-29) bebizonyította, hogy ez nem lehetséges ötödfokú (s még kevésbé magasabb fokú) egyenletek esetében. Evariste Galois (1811-32) ált. eljárást adott annak megállapítására, hogy egy egyenlet megoldásait mikor lehet gyökvonásokkal meghatározni; a halálos párbaja előtti éjszakán papírra vetett feljegyzéseiből egy fontos algebrai fejezet, a csoportelmélet fejlődött ki. - Abel meghatározó volt a függvénytan egy fejezetének, az elliptikus függvények elméletének kidolgozásában; ez a kérdéskör az egész 19. sz: foglalkoztatta a matematikusokat [Carl Gustav Jakob Jacobi (1804-51), Weierstrass, Charles Hermite (1822-1901)]. Az algebra fejlődése a csoport fogalmának megszületésével lendületet kapott; művelői: Ernst Eduard Kummer (1810-93), Leopold Kronecker (1823-91), William Rowan Hamilton (1805-65), Arthur Cayley (1821-95), Marius Sophus Lie (1842-99), James Joseph Sylvester (1814-97), Felix Christian Klein (1849-1924). - August Ferdinand Möbius (1790-1868) topológia gondolata, amely az alakzatoknak az analízisből Cauchy óta ismert folytonos átalakításokkal szembeni viselkedését kutatta. Kifejlődése a 20. sz: történt, azon múlott, hogy Georg Ferdinand Cantor (1845-1918) fölismerte a halmaz fogalmának számos kérdésben alapvető szerepét (halmazon egyszerűen valamilyen dolgoknak, a halmaz elemeinek összességét kell érteni). Cantor gondolatai rövidesen a ~nak szinte minden kérdéskörét forradalmasították. A topológiában Enrico Betti (1823-92) és Henri Poincaré (1854-1912) tették meg az első lényeges lépéseket. -

A 19. sz-ot David Hilbert (1862-1943) munkássága zárta, aki 1899: megjelent kv-ében évezredek előkészítése után teljessé tette a geometria axiomatikus fölépítését. 1900: tartott előadásában 23 probléma megfogalmazásával évtizedekre utat mutatott a ~ fejlődésének. Elsősorban algebrai és számelméleti kérdéseken dolgozott, de bevezette az analízis egy új fejezetének, a funkcionálanalízisnek az alapfogalmait, s megvetette a ~i logika és bizonyításelmélet alapjait is. - A 19. sz: megoldották a ~ néhány régi problémáját. Még a 19. sz: is, a matematikusok egyidejűleg fil-val, csillagászattal, fiz-val is foglalkoztak, a ~ szinte minden kérdésére kiterjedt érdeklődésük, a 20. sz: megjelent a szűkebb értelemben vett matematikus, nemegyszer a valamely szűkebb fejezetére szakosodott algebrista, geométer (a szűkebb értelemben, mert korábban a geométer szó valójában matematikust jelentett), analízis-szakember, stb. Ezért a 20. sz. ~ját célszerű az egyes fejezetek szerinti csoportosításban áttekinteni. - A ~i logika területén Kurt Gödel (1906-78) fölfedezése szerint minden nem semmitmondó axiómarendszer alapján meg lehet fogalmazni olyan állítást, amely az adott axiómarendszer keretei között eldönthetetlen (sem be nem bizonyítható, sem meg nem cáfolható). Sokat köszönhet e fejezet Alfred Tarski (1901-83) munkásságának. - A halmazelmélet a 20. sz. elejétől rohamosan fejlődött, részben azért is, mert Hilbert fontosnak mondott problémái között előkelő helyen szerepeltette a kontinuum-hipotézisre vonatkozót. Maga a probléma még Cantortól származik, aki a halmazokkal kapcsolatos egyik középponti kérdésnek azt tekintette, két adott halmazt lehet-e egymásra kölcsönösen egyértelmű módon leképezni (ilyenkor mondjuk, hogy a két halmaz számossága egyenlő). Cantor úgy képzelte, hogy a természetes számok és a valós számok halmazának (az utóbbit mondjuk kontinuumnak) számossága között további számosság nincs. A fejlődést megzavarta, hogy hamarosan ellentmondások (antinómiák) bukkantak föl a halmaz fogalmával kapcsolatban. Ezen érthetően a halmazelmélet axiomatikus fölépítésével lehetett segíteni, s hamarosan meg is született az Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871-1953) és Adolf Abraham Fraenkel (1891-1965) után elnevezett Zermelo-Fraenkel-féle axióma-rendszer. Egy másikat kissé később Neumann János (1903-57) állított össze. Gödel megmutatta, hogy a Cantor-féle kontinuum-hipotézis nincs ellentmondásban a Zermelo-Fraenkel-féle rendszer axiómáival. Paul Cohen (1934-) bebizonyította, hogy ennek az axiómarendszernek az alapján Cantor hipotézise nem is bizonyítható, ez tehát a Zermelo-Fraenkel-féle axiómarendszer eldönthetetlen problémája a Gödel-féle értelemben. -

Zermelónak köszönhető az a mai ~ban alapvető tétel, amely szerint bármely halmaz ellátható olyan rendezéssel, amelyben minden nemüres részhalmaznak van legelső eleme. (A H halmaz rendezésén olyan ~ relációt értünk, amely szerint H minden a elemére a ~ a, a ~ b és b ~ a esetén a = b, továbbá a ~ b és b ~ c esetén a ~ C, tehát a reláció reflexív, szimmetrikus és tranzitív). Ez a jólrendezési tétel az alapja a 21. sz: nélkülözhetetlen transzfinit indukció nevű bizonyítási eljárás alkalmazásának. - A halmazelmélet antinómiáinak elkerülésére Luitzen Eghbertus Jan Brouwer (1881-1966) a ~i logika keretében kidolgozta az intuicionizmusnak nevezett elméletet, amely kevésbé volt eredményes, mint az axiomatikus módszer, mert fölöslegesen leszűkítette az alkalmazási lehetőségeket. - A kombinatorika szűkebb értelemben a véges halmazok elméletét, tágabb értelemben az ezekkel kapcsolatban kialakult módszerek alkalmazását jelenti. Fölvirágzása a 20. sz: indult; fő képviselője a csaknem Euler-i termékenységű Erdős Pál (1913-96). A föllendülés azzal is összefüggött, hogy kombinatorikai gondolatok széleskörűen alkalmazhatók a számítógépek elméletében; ennek az irányzatnak jelese Lovász László (1948-). Egyik fontos ága a gráfelmélet; a gráf olyan halmaz, amelynek elemeiből (ún. csúcsaiból) álló bizonyos párok ki vannak tüntetve, ezek a gráf élei. Eulerig visszavezethető elméletük igazában a 20. sz: alakult ki, egyik kiváló művelője és első monográfiaírója Kőnig Dénes (1884-1944). - A hálók elmélete tekinthető a rendezett halmazok elmélete egyik ágának is, de a modern értelemben vett algebra egy fejezetének is; az utóbbi fölfogásban a háló olyan halmaz, amelyben két művelet van értelmezve, és ezeknek szabályai a halmazok egyesítése (azaz a két halmaz elemeinek együtteséből újabb halmaz képzése) és metszése (azaz a két halmaz közös elemeinek vétele) műveletének szabályait követik. Fő kidolgozója Garret Birkhoff (1911-96). - Az algebra másfajta struktúrái is elláthatók sokszor a halmazok körében értelmezett rendezési relációval; ezek elmélete is a 20. sz: alakult ki. Az ilyen szerkezetek úgy jönnek létre, hogy valamely halmazon egy v. több műveletet (utasítást, amely a halmaz néhány eleméhez egy további elemet rendel) értelmezünk. A műveleti szabályok sokfélék lehetnek. Ált. elméletüket a rendszerelmélet egy fejezete, az univerzális algebra tárgyalja. E 20. sz: született fejezet létrejöttében fontos szerepet vitt Barthel Leendert van der Waerden (1903-96) és Saunders MacLane (1909-). - A számelmélet ősrégi tud-ága a 20. sz: is virágzott. Problémáinak vizsgálatára mozgósította az algebra, az analízis, a valószínűség-számítás módszereit. Az analízis számelméleti alkalmazását jelentő analitikus számelmélet egyik fontos segédeszköze, a hatvány-összegmódszer Turán Pálnak (1910-76) köszönhetö, a valószínűség-számítás számelméleti alkalmazását elsőként Erdős Pál indítványozta. - Sikerült megoldani olyan régi kérdéseket, mint a Waring-sejtés [minden n természetes számhoz van olyan f(n) természetes szám, hogy bármely természetes szám fölírható legfeljebb f(n) természetes szám n-edik hatványának összegeként, pl. f(2) = 4; a probléma fölvetője Edward Waring (1734-98), megoldója Hilbert] v. a Fermat-val kapcsolatban említett Fermat-sejtés. Számos könnyen megfogalmazható és természetes kérdésre máig nem ismerjük a választ. Nem tudjuk pl., van-e végtelen sok ikerprímszámpár, tehát 2 különbségű prímszámokból álló pár, mint 3 és 5 vagy 29 és 31; az sem ismeretes, igaz-e a Goldbach-sejtés (minden 2-nél nagyobb páros szám fölírható két prímszám összegeként), amelyet Christian Goldbach (1690-1764) óta sokan vizsgáltak eredménytelenül, s a megoldáshoz eddig legközelebbi eredményt Rényi Alfréd (1921-70) találta meg. -

Az algebrában az univerzális algebra mellett részletes vizsgálatok folytak a hálókon és a korábban már említett csoportokon kívül más különleges szerkezetek körében is, mint a gyűrűk (két művelet nagyjából az összeadás és a szorzás szabályait követve), ill. a testek (ugyane két művelet, de az osztással együtt), megengedve minden esetben azt is, hogy a kommutatív törvény, amely a tagok ill. tényezők sorrendjétől való függetlenséget írja elő, v. az asszociatív törvény, amely szerint pl. (ab)c = a(bc), esetleg ne teljesüljön. - Érdemes külön megemlíteni a lineáris algebrát (ilyenkor két művelet nagyjából a vektorok összeadásának és számmal való szorzásának szabályait követi), az algebrai módszerek mértani alkalmazását vizsgáló algebrai geometriát, valamint a ~ egészét bizonyos értelemben felölelő struktúrák, a kategóriák elméletét (az utóbbiban a struktúrák meghatározott osztályának elemei, az objektumok közötti, a szerkezet lényeges tulajdonságait megőrző morfizmusnak mondott leképezések játsszák az alapszerepet). - Az analízis 20. sz. fejlődését befolyásolta, hogy a halmazelmélet módszereit eredményesen mozgósítva Henri Louis Lebesgue (1875-1941) megalkotta az integrál fogalmának a korábbiaknál általánosabb és jobban használható elméletét. Ebből kialakult a valós szám értékű függvények elmélete (valós függvénytan), a mértékelmélet, amelyben fontos eredmények köszönhetők Haar Alfrédnak (1885-1933), de megújult a komplex változós függvények tana is, mindezekkel együtt a potenciálelmélet, a differenciálegyenletek elmélete (külön tekintve az egyváltozós ismeretlen függvényt tartalmazó közönséges és a többváltozós függvényt kereső parciális differenciálegyenleteket), és kialakult az olyan függvényegyenleteknek Cauchy munkásságáig visszanyúló elmélete is, amelyekben az ismeretlen függvénynek nem differenciálhányadosai, hanem különböző helyeken fölvett értékei szerepelnek; az utóbbi elmélet kidolgozásában Aczél Jánosnak (1924-) volt döntő szerepe. A végtelen sorok több évszázados elméletében a Fourier-sorok vizsgálatát általánosították több irányban is; az elmélet egyik megújítója Fejér Lipót (1880-1959), s az általánosítás révén létrejött a Fourier-analízis, ill. a harmonikus analízis s az ezekre alapozott approximáció-elmélet, valamint az olyan egyenletek vizsgálata, amelyekben az ismeretlen függvény integrálja (is) szerepel (integrálegyenletek). Mindezekből kifejlődött az olyan operátorok vizsgálata, amelyek egy függvényhez rendelnek meghatározott módon egy másik függvényt. Az ebből kialakult elmélet a funkcionálanalízis, amelynek alapvető gondolatait Hilbertet követően Maurice René Fréchet (1878-1973), Riesz Frigyes (1880-1956), Stefan Banach (1892-1945) és Neumann János dolgozták ki. - Elsősorban közgazd. alkalmazásai révén vált fontossá az operátorok szélsőértékeinek keresésére szolgáló módszerek elmélete, az optimalizálás, amely méltó versenytársává vált az évszázadokra visszanyúló variációszámításnak. - A geometria hagyományos fölépítésű fejezetébe friss gondolatokat vitt a konvex alakzatok (ilyennek mondjuk az alakzatot, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát is tartalmazza) vizsgálatát középpontba állító és lefedési ill. kitöltési problémákkal foglalkozó diszkrét geometria, amelynek egyik megalapítója Fejes Tóth László (1915-). Évszázados múltú a differenciál- és a projektív geometria. A topológia valódi fölvirágzása 20. századi; a halmazelmélet módszereit fölhasználva megszületett a topologikus tér [Fréchet Felix Hausdorff (1868-1942), Kazimierz Kuratowski (1896-1980)] és számos más topologikus struktúrafajta fogalma, eredményes volt az algebrai módszereket is mozgósító algebrai topológia és a differenciálgeometriáéhoz hasonló eszközöket fölhasználó differenciáltopológia. - Az évszázadokra visszavezethető négyszínsejtés alapötlete: a síkon (vagy a gömbfelületen) tetszőlegesen elhelyezkedő országokból álló térképet ki lehet-e mindig úgy színezni, hogy a szomszédos (nem csak egy ponton érintkező) országok különböző színt kapjanak és 4 színnél többre ne legyen szükség. Azt, hogy 5 szín elegendő, több mint 100 éve tudjuk, de azt, hogy 4 szín is elég, negyed százada bizonyították be Kenneth Appel (1932-) és Wolfgang Haken (1928-) úgy, hogy a több ezer különleges esetet számítógépes program vizsgálta végig (megoszlik a matematikusok véleménye arról, hogy ez a módszer elfogadható-e). - Több évszázados múltja van a valószínűség-számítás elméletének, de axiomatikus megalapozását csak Andrej Nyikolajevics Kolmogorov (1903-87) adta meg az analízisben kidolgozott mértékelmélet fölhasználásával. Ezzel a rá épülő ~i statisztika is elnyerte az elméleti ~i fejezeteket jellemző igényes fölépítést. Mind a két tud-ág alapvető szerepet játszik a ~ alkalmazásaiban, külön kiemelve az elsőnek információelméletként emlegetett fiatal fejezetét, amely az információ kódolása és dekódolása kérdéseit tanulmányozza. Ennek létrejöttében Claude Elwood Shannon (1916-2001) még nem kellően pontosan megfogalmazott alapgondolatait továbbfejlesztve Alekszandr Jakovlevics Hincsinnek (1894-1959) vannak érdemei. - Az alkalmazások szempontjából fontos a közelítő számítások módszereit összefoglaló numerikus analízis művelése. Ennek elméleti módszerei mellett a 20. sz. közepén hatékony segédeszköze is megjelent az elektronikus számítógép formájában. Kifejlesztésében döntő szerepe volt Neumann Jánosnak. A számítógépek gyors fejlődése szükségessé tette az elméleti ~ számos újonnan fölmerülő kérdésének alapos vizsgálatát; ezeket foglalja össze a ~ számítógép-tudománynak nevezett új, rohamosan gyarapodó fejezete. - Szokás a ~nak azokat a fejezeteit, amelyek gyakran jelentkeznek más tud-okban (a fiz. különféle fejezetei, más termtud-ok, műszaki tud-ok, közgazd-tan, nyelvtud., stb.) való alkalmazások közben, alkalmazott ~ néven összefoglalni. Az elméleti ~nak szinte nincs olyan fejezete, amely ne volna valamely más tud-ban eredményesen alkalmazható. A műszaki tud-ok és a ~ között az utóbbi évtizedekben létrejött az informatika néven emlegetett határterületi tud-ág, amelynek problémaköre különösen gazdag a ~ fejlődését előmozdító kérdésekben. Császár Ákos

Stöckel Pál: Bolyai Farkas és Bolyai János geometriai vizsgálatai. Bp., 1914. - Bolyai János: Appendix. Bev, és kieg. Kárteszi Ferenc. Uo., 1952. - Eukleidész: Elemek. Uo., 1952. - Ligeti Béla: A m. ~ tört. a XVIII. sz. végéig. Uo., 1953. - Rademacher-Toeplitz: Számokról és alakzatokról. Uo., 1953. - Struik, Dirk J.: A ~ rövid tört. Uo., 1958. - Kofler, Edward: Fejezetek a ~ tört-éből. Uo., 1965. - Ribnyikov, K. A.: A ~ tört. Uo., 1965. - Courant-Robbins: Mi a ~? Uo., 1966. - ~i kisenciklopédia. Uo., 1968. - Szénássy Barna: A mo-i ~ tört. Uo., 1970. - Ruzsa Imre: A ~ néhány fil. problémájáról. Uo., 1971. - Szász Gábor: Az axiomatikus módszer. Uo., 1972. - Vekerdi László: A ~i absztrakció tört-éből. Bukarest, 1972. - Waerden, B. L. van der: Egy tud. ébredése. Bp., 1977. - Szabó Árpád: A gör. ~ kibontakozása. Uo., 1978. - Juskevics, A. P.: A kk. ~ tört. Uo., 1982. - Lévárdi László-Sain Márton: ~tört. feladatok. Uo., 1982. - Davis-Hersh: A ~ élménye. Uo., 1984. - Sain Márton: ~tört. ABC. Uo., 1993.